Тренажер по математике
Программа — тренажер по математике для закрепления навыков умножения столбиком двузначных чисел .
Предлагается 20 примеров для решения. Два случайных двузначных числа нужно умножить столбиком.
Для перехода к началу решения примеров нажимаем кнопку «START»
В левой верхней части страницы тренажера по математике указывается число примеров, которые осталось решить.
В правой части страницы пример, который нужно решить. В левой части этот же пример записан столбиком.
Клавишами управления курсором передвигаемся вверх/вниз/вправо/влево по клеточками. Нажимаем на клавиатуре кнопки 0-9 и вводим промежуточные ответы и итоговый ответ.
В случае, если пример решен верно, начисляется 5 очков. Если дать правильный ответ три раза подряд — начисляется бонус.
За неправильный ответ вычитается 3 очка.
Ошибки, допущенные в ходе вычисления, исправляются красным цветом. Сразу будет видно на каком этапе вычислений допущена ошибка.
В итоговой страничке тренажера по математике представлены результаты: количество очков, ошибок, бонусов.
Если при умножении столбиком были допущены ошибки, ниже будут перечислены примеры, в которых они были.
Как быстро умножать двузначные числа в уме?
Как быстро умножать большие числа, как овладеть такими полезными навыками? У большинства вызывает затруднения устное перемножение двузначных чисел на однозначные. А о сложных арифметических расчетах и говорить нечего. Но при желании способности, заложенные в каждом человеке, можно развить. Регулярные тренировки, немного усилий и применение, разработанных учеными, эффективных методик позволят достичь потрясающих результатов.
Выбираем традиционные методы
Проверенные десятилетиями способы перемножения двузначных чисел не теряют своей актуальности. Простейшие приемы помогают миллионам обычных школьников, учащихся специализированных ВУЗов и лицеев, а также людям, занимающимся саморазвитием, усовершенствовать вычислительное мастерство.
Умножение с помощью разложения чисел
Наиболее легким способом, как быстро научиться умножать большие числа в уме, является перемножение десятков и единиц. Сначала умножаются десятки двух чисел, затем поочередно единицы и десятки. Четыре полученных числа суммируются. Для использования этого метода важно уметь запоминать результаты перемножения и складывать их в уме.
Например, для умножения 38 на 57 необходимо:
- разложить число на (30+8)*(50+7) ;
- 30*50 = 1500 – запомнить результат;
- 30*7 + 50*8 = 210 + 400 = 610 – запомнить;
- (1500 + 610) + 8*7 = 2110 + 56 = 2166
Естественно, необходимо отлично знать таблицу умножения, так как быстро умножать в уме этим способом не удастся без соответствующих умений.
Умножение в столбик в уме
Визуальное представление привычного перемножения в столбик многие используют при расчетах. Этот метод подойдет тем, кто умеет надолго запоминать вспомогательные числа и выполнять с ними арифметические действия. Но процесс значительно упрощается, если вы научились, как быстро умножать двузначные числа на однозначные. Для перемножения, например, 47*81 нужно:
- 47*1 = 47 – запомнить;
- 47*8 = 376 – запоминаем;
- 376*10 + 47 = 3807.
Запоминать промежуточные результаты поможет проговаривание их вслух с одновременным суммированием в уме. Несмотря на сложность мысленных вычислений, после непродолжительных тренировок этот метод станет вашим любимым.
Приведенные выше способы умножения универсальны. Но знание более эффективных алгоритмов для некоторых чисел намного сократит количество расчетов.
Умножение на 11
Это, пожалуй, самый простой способ, который используется для умножения любых двузначных чисел на 11.
Достаточно между цифрами множителя вставить их сумму:
13*11 = 1(1+3)3 = 143
Если в скобках получается число больше 10, то к первой цифре добавляется единица, а из суммы в скобках вычитается 10.
28*11 = 2 (2+8) 8 = 308
Умножение больших чисел
Очень удобно перемножать числа, близкие к 100 разложением их на составляющие. Например, необходимо умножить 87 на 91.
- Каждое число необходимо представить как разницу 100 и еще одного числа:
(100 - 13)*(100 - 9)
Ответ будет состоять из четырех цифр, две первые из которых – разница первого множителя и вычитаемого из второй скобки или наоборот – разница второго множителя и вычитаемого из первой скобки.
87 – 9 = 78
91 – 13 = 78 - Вторые две цифры ответа - результат перемножения вычитаемых из двух скобок.13*9 = 144
- В результате получаются числа 78 и 144. Если при записывании окончательного результата получается число из 5 цифр вторую и третью цифру суммируем. Результат: 87*91 = 7944 .
Это самые простые способы перемножения. После многократного их применения, доведения вычислений до автоматизма можно осваивать более сложные техники. И через некоторое время проблема, как быстро умножить двузначные числа перестанет вас волновать, а память и логика существенно улучшатся.
Урок 3. Традиционное умножение в уме
Давайте рассмотрим, как можно умножать двузначные числа, используя традиционные методы, которым нас обучают в школе. Некоторые из этих методов, могут позволить вам быстро перемножать в уме двузначные числа при достаточной тренировке. Знать эти методы полезно. Однако важно понимать, что это лишь вершина айсберга. В данном уроке рассмотрены наиболее популярные приемы умножения двузначных чисел.
Первый способ – раскладка на десятки и единицы
Самым простым для понимания способом умножения двузначных чисел является тот, которому нас научили в школе. Он заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.
Проще такие примеры решаются в 3 действия. Сначала умножаются десятки друг на друга. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки. Затем прибавляется произведение единиц. Схематично это можно описать так:
- Первое действие: 60*80 = 4800 — запоминаем
- Второе действие: 60*5+3*80 = 540 – запоминаем
- Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 – ответ
Для максимально быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10, умение складывать числа (до трехзначных), а также способность быстро переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в уме. Последний навык удобно тренировать путем визуализации совершаемых арифметических операций, когда вы должны представлять себе картинку вашего решения, а также промежуточные результаты.
Вывод. Не трудно убедиться в том, что этот способ не является самым эффективным, то есть позволяющим при наименьших действиях получить правильный результат. Следует принять во внимание другие способы.
Второй способ – арифметические подгонки
Приведение примера к удобному виду является достаточно распространенным способом счета в уме. Подгонять пример удобно, когда вам нужно быстро найти примерный или точный ответ. Желание подгонять примеры под определенные математические закономерности часто воспитывается на математических кафедрах в университетах или в школах в классах с математическим уклоном. Людей учат находить простые и удобные алгоритмы решения различных задач. Вот некоторые примеры подгонки:
Пример 49*49 может решаться так: (49*100)/2-49. Сначала считается 49 на сто – 4900. Затем 4900 делится на 2, что равняется 2450, затем вычитается 49. Итого 2401.
Произведение 56*92 решается так: 56*100-56*2*2*2. Получается: 56*2= 112*2=224*2=448. Из 5600 вычитаем 448, получаем 5152.
Этот способ может оказаться эффективнее предыдущего только в случае, если вы владеете устным счетом на базе перемножения двузначных чисел на однозначные и можете держать в уме одновременно несколько результатов. К тому же приходится тратить время на поиск алгоритма решения, а также уходит много внимания за правильным соблюдением этого алгоритма.
Вывод. Способ, когда вы стараетесь умножить 2 числа, раскладывая их на более простые арифметические процедуры, отлично тренирует ваши мозги, но связан с большими мысленными затратами, а риск получить неправильный результат выше, чем при первом методе.
Третий способ — мысленная визуализация умножения в столбик
56*67 – посчитаем в столбик.
Наверное, счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа. Но его можно упростить. Во втором уроке рассказывалось, что важно уметь быстро умножать однозначные числа на двузначные. Если вы уже умеете это делать на автомате, то счет в столбик в уме для вас будет не таким уж и трудным. Алгоритм таков
Первое действие: 56*7 = 350+42=392 – запомните и не забывайте до третьего действия.
Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56)
Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752 – тут посложнее, но вы можете начинать называть первое число, в котором уверены – «три тысячи…», а пока говорите, складывайте 360 и 392.
Вывод: счет в столбик напрямую сложен, но вы можете, при наличии навыка быстрого умножения двузначных чисел на однозначные, его упросить. Добавьте в свой арсенал и этот метод. В упрощенном виде счет в столбик является некоторой модификацией первого метода. Что лучше – вопрос на любителя.
Как можно заметить, ни один из описанных выше способов не позволяет считать в уме достаточно быстро и точно все примеры умножения двузначных чисел. Нужно понимать, что использование традиционных способов умножения для счета в уме не всегда является рациональным, то есть позволяющим при наименьших усилиях достигать максимального результата.
Урок 6. Умножение в уме любых чисел до 100
Чтобы умножать любые числа до 100 в уме важно быстро подобрать нужный алгоритм. Для удобства этого подбора в данном уроке выделены наиболее удобные случаи для каждой методики умножения. Описанные выше методики можно разделить на универсальные (подходящие для любых чисел) и частные (удобные для конкретных случаев).
Универсальные методики
Применимость универсальных методик умножения чисел до 100 такова:
Использование одного опорного числа (Урок 5):
- все числа в диапазонах до 30, 40-60, 85-100 – если оба множителя рядом с опорным числом.
Например: 13*17, 18*23, 29*22, 53*61, 88*97 и т.д. - если одно число очень близко к удобному опорному (+/- 3 от 10, 20, 50, 100), второе может быть любым.
Например: 21*67 (21 близко к 20), 48*33 (48 близко к 50), 98*32 (98 близко к 100)
Использование двух опорных чисел (Урок 5):
- Если одно опорное число является кратным другому и если одно из опорных чисел является удобным (10, 20, 50, 100)
Например: 98*24, 12*44, 43*103, 23*62
Иные числа удобно умножать традиционными методами из третьего урока, когда разряды десятков и единиц не очень большие (Урок 3). Кроме того, традиционный метод удобен, когда вы не знаете, какой другой метод вам применить.
Частные методики
Также полезно помнить о частных методиках, существенно упрощающих решение некоторых примеров:
Умножение на 10, 20, 25, 50 – должно осуществляться практически на автомате (Урок 2):
- Например: 88*25 = 2200 (деление на 4)
Умножение на 11 всегда по методике из урока 4
Числа, заканчивающиеся на 5 удобно возводить в квадрат по методу из четвёртого урока
Любые числа удобно возводить в квадрат используя формулы сокращенного умножения четверного урока
- Например: 69*69 = (70-1) 2 = 70 2 – 70*2*1 + 1 2 = 4 900-140+1 = 4 761
Теперь, вы имеете серьезный алгоритмический аппарат для решения примеров на умножение чисел до 100. Кроме того, вы уже можете умножать и некоторые примеры с множителями больше 100. Главным фактором, влияющим на вашу способность умножать в уме, в дальнейшем должен стать опыт и тренировка. Пройти тренировку можно ниже.
Тренировка
Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные.
Напоминаем, что для полноценной работы сайта вам необходимо включить cookies, javascript и iframe. Если вы ввидите это сообщение в течение долгого времени, значит настройки вашего браузера не позволяют нашему порталу полноценно работать.
Правило умножения двузначных чисел на двузначные
Интересно, сколько людей не воткнули, что это тот же столбик, которому их учили в 3-4 классе, только по-другому записанный.
а можно попродробнее? в каком именно месте это «тот же столбик»?
возьми и перемножь 64*38 обоими способами, в итоге делаешь одно и то же — умножаешь и складываешь цифры в несколько действий.
Ну а ничего, что такой способ годится только для вариантов, когда одно из чисел от 90 до 99. Иначе:
32 * 45 =
1. 32 — 55 = — 13
2. 68 * 55 = .
А ответ 1440
Запоминать способ для вариантов, где один из множителей в диапазоне 10 чисел.. ну несерьезно, передай Кондрашеву А.А.
Здравствуйте, а Вы не нашли название этой книги?
Приношу искренние извинения за своевременность.
Прошу прощения за столь поздний ответ — планировал поискать её на новогодних праздника.
К сожалению саму книгу найти не смог. Пытался узнать её по внешнему виду в интернете — тоже ничего не вышло.
Я и не рассчитывала на ответ. Спасибо, что уделили время на поиски книги! Ну, с кем не бывает, не всегда выходит найти искомое.
Почитай книгу эту, там все расписано подробно, комментарию 3 года, написано в спешке.
Я забыл в финальном этапе, что 18 надо умножить на 5 и прибавить к 1350. 18*5 = 90. 1350+90 = 1440, твое число.
у меня так же я перемножала 42*37
А я лет с 11-13 научилась умножать в уме числа 3х, 4х значные, 5тизначные на 2хзначные, например. Я просто в уме вижу перед собой листок и решаю на нем пример, элементарное умножение в столбик.
Конечно, эту процедуру можно и на листочке производить, но листочек память не тренирует)))
А двухзначные раскладываю на близкие круглые числа, потом прибавляю или отнимаю недостающие единицы
Популярное:
- Приказ об утверждении правил приема муниципальное автономное дошкольное образовательное учреждение детский сад комбинированного вида № 3 села Коноково муниципального образования Успенский район 352464 Краснодарский край, […]
- Центр экспертизы и координации информатизации ЦИПР-2018: Цифровизация отраслей российской экономики Июн 09, 2018 6-8 июня в Иннополисе состоялась конференция «Цифровая индустрия промышленности». Директор ФГБУ «ЦЭКИ» Роман […]
- Пособия в 2014 году В соответствии с Федеральным законом № 349-ФЗ от 02 декабря 2013 года «О федеральном бюджете на 2014 год и на плановый период 2015 и 2016 годов» размеры государственных пособий гражданам, имеющим детей, […]
- Газодымозащитная служба Газодымозащитная служба Деятельность ГДЗС выполняется в соответствии с требованиями приказов МЧС России от 09.01.2013 №3 «Об утверждении Правил проведения личным составом ФПС ГПС АСР при тушении с […]
- РЕШЕНИЯ СУДОВ Решение суда. Дело № 2-590 09 февраля 2011 года Именем Российской Федерации Выборгский районный суд Санкт-Петербурга в составе: судьи Симоновой И. Е. при секретаре Новоселовой О. П., рассмотрев в открытом судебном […]
- График приема в Прокуратуре Прокуратура города Шахты расположена по адресу: ул. Шевченко, 80 Прокурор города Шахты старший советник юстиции Петренко Евгений Александрович Зам. прокурора советник юстиции Яценко Д.А. Зам. […]
- Акт об отказе от подписи В случае отказа расписаться в официальном или ином документе не стоит нервничать – составьте акт об отказе от подписи. Как и акт об отказе от получения, такой документ фиксирует тот факт, что лицо […]
- Единовременное пособие при рождении ребенка Существующая система государственной социальной помощи в России предусматривает несколько видов компенсационных и стимулирующих выплат, предоставляемых семьям по случаю рождения детей. […]
Например: 98 х 97 = 9506
Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два
двузначных числа, близких к 100, то поступай так:
1) найди недостатки сомножителей до сотни;
2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;
3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков
сомножителей до сотни.
2.9 Умножение трёхзначного числа на 999
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения » первых до 9. Например:
385 * 999 = 384615
573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057
2.10 Умножение на шесть (по Трахтенбергу)
Нужно прибавить к каждой цифре половину «соседа ».
Пример: 0622084 * 6
0622084 * 6 4 является правой цифрой этого числа и, так 4 как «соседа » у неё нет, прибавлять нечего.
06222084 * 6 Вторая цифра 8, е «сосед » - 4. Мы берём 8 04 прибавляем половину 4 (2) и получаем 10, ноль пишем, 1 в перенос.
06222084 * 6 Следующая цифра ноль. Мы прибавляем к ней
504 половину «соседа » 8 (4), то есть 0 + 4 = 4 плюс
перенос (1).
Остальные цифры аналогичны.
Ответ: 06222084 * 6
Правило умножения на 6: является «сосед » чётным или не чётным – никакой роли не играет. Мы смотрим только на саму цифру: если она чётная, прибавляем к ней её целую часть половины «соседа », если нечётная, то кроме половины «соседа » прибавляем еще 5.
Пример: 0443052 * 6
0443052 * 6 2 – чётная и не имеет «соседа », напишем её снизу
0443052 * 6 5 – нечётная: 5+5 и плюс половина «соседа » 2 (1)
12 будет 11. Запишем 1 и в перенос 1
0443052 * 6 половина от 5 будет 2, и прибавим перенос 1, то будет 3
0443052 * 6 3 – нечетная, 3 + 5 = 8
0443052 * 6 4 + половина от 3 (1) будет 5
0443052 * 6 4 + половина от 4 (2) будет 6
0443052 * 6 ноль + половина от 4 (2) будет 2
2658312 Ответ: 2658312.
Выводы
Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.
В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.
Как мы видим, быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит, её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.
Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.
Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Заключение
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.
Изучение старинных способов вычислений показало, что эти арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.
Современные способы вычислений просты и доступны всем.
При знакомстве с научной литературой обнаружил более быстрые и надежные способы вычислений.
Результаты своей работы я оформил в памятку (Приложение 2), которую предложу всем своим одноклассникам. Возможно, что с первого раза не у всех получится быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки.
Список использованной литературы
1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом «Фёдоров », 1999г.
2. Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996.
3. Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений. //Начальная школа. – 1990, №6.
4. Иванова Т. Устный счёт. // Начальная школа. – 1999, №7.
5. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
6. Минских Е.М. «От игры к знаниям », М., «Просвещение », 1982г.
7. Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.
8. Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи. М., Просвещение, 1977г.
Интернет-источники
1. school.edu.ru
Страница 1 из 4
Точные произведения двузначных чисел 11 -- 50 (Таблица Брадиса 1)
Таблица брадиса произведения двузначных чисел состоит из 89 табличек произведений каждого из натуральных чисел от 11 до 99, указанных полужирными цифрами справа, на все целые числа от 0 до 99. Чтобы получить, например, произведение 57-49, надо взять табличку с номером 57 и найти пересечение строки с заголовком (слева) 40 и Столбца с заголовком (сверху) 9. То же самое произведение 2793 можно получить по таблич-ке 49 в пересечении строки 50 и столбца 7.
Применяя распределительное свойство, можно с помощью таблицы брадиса упростить произведение любого многозначного числа на двузначное, а также умножение любого многозначного на многозначное. Трехзначные произведения, как например 35-17 = 595, во избежание ошибок лучше записывать как четырехзначные, добавляя слева нуль: 35-17 = 0595. Если сомножитель содержит нечетное число цифр, полезно добавлять справа нуль, отбра-сывая его в окончательном результате.
Таблица брадиса 1 упрощает и деление любого многозначного числа на двузначное: в то время как обычное письменное деление дает цифры частного по одной, примене-ние таблицы дает их сразу по две. Используется табличка с номером, равным дели-телю, сносить надо сразу по две цифры делимого. Если при делении с остатком сно-сится только одна (крайняя справа) цифра делимого, то в частном получается только одна (последняя) цифра. Но если частное надо найти в виде десятичной дроби, то последняя цифра делимого сносится вместе с нулем десятых.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| 0 | 0 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 11 |
| 10 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 | 165 | 176 | 187 | 198 | 209 | |
| 20 | 220 | 231 | 242 | 253 | 264 | 275 | 286 | 297 | 308 | 319 | |
| 30 | 330 | 341 | 352 | 363 | 374 | 385 | 396 | 407 | 418 | 429 | |
| 40 | 440 | 451 | 462 | 473 | 484 | 495 | 506 | 517 | 528 | 539 | |
| 50 | 550 | 561 | 572 | 583 | 594 | 605 | 616 | 627 | 638 | 649 | |
| 60 | 660 | 671 | 682 | 693 | 704 | 715 | 726 | 737 | 748 | 759 | |
| 70 | 770 | 781 | 792 | 803 | 814 | 825 | 836 | 847 | 858 | 869 | |
| 80 | 880 | 891 | 902 | 913 | 924 | 935 | 946 | 957 | 968 | 979 | |
| 90 | 990 | 1001 | 1012 | 1023 | 1034 | 1045 | 1056 | 1067 | 1078 | 1089 | |
| 0 | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 12 |
| 10 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 | 180 | 192 | 204 | 216 | 228 | |
| 20 | 240 | 252 | 264 | 276 | 288 | 300 | 312 | 324 | 336 | 348 | |
| 30 | 360 | 372 | 384 | 396 | 408 | 420 | 432 | 444 | 456 | 468 | |
| 40 | 480 | 492 | 504 | 516 | 528 | 540 | 552 | 564 | 576 | 588 | |
| 50 | 600 | 612 | 624 | 636 | 648 | 660 | 672 | 684 | 696 | 708 | |
| 60 | 720 | 732 | 744 | 756 | 768 | 780 | 792 | 804 | 816 | 828 | |
| 70 | 840 | 852 | 864 | 876 | 888 | 900 | 912 | 924 | 936 | 948 | |
| 80 | 960 | 972 | 984 | 996 | 1008 | 1020 | 1032 | 1044 | 1056 | 1068 | |
| 90 | 1080 | 1092 | 1104 | 1116 | 1128 | 1140 | 1152 | 1164 | 1176 | 1188 | |
| 0 | 0 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 13 |
| 10 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 | 195 | 208 | 221 | 234 | 247 | |
| 20 | 260 | 273 | 286 | 299 | 312 | 325 | 338 | 351 | 364 | 377 | |
| 30 | 390 | 403 | 416 | 429 | 442 | 455 | 468 | 481 | 494 | 507 | |
| 40 | 520 | 533 | 546 | 559 | 572 | 585 | 598 | 611 | 624 | 637 | |
| 50 | 650 | 663 | 676 | 689 | 702 | 715 | 728 | 741 | 754 | 767 | |
| 60 | 780 | 793 | 806 | 819 | 832 | 845 | 858 | 871 | 884 | 897 | |
| 70 | 910 | 923 | 936 | 949 | 962 | 975 | 988 | 1001 | 1014 | 1027 | |
| 80 | 1040 | 1053 | 1066 | 1079 | 1092 | 1105 | 1118 | 1131 | 1144 | 1157 | |
| 90 | 1170 | 1183 | 1196 | 1209 | 1222 | 1235 | 1248 | 1261 | 1274 | 1287 | |
| 0 | 0 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 14 |
| 10 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 | 210 | 224 | 238 | 252 | 266 | |
| 20 | 280 | 294 | 308 | 322 | 336 | 350 | 364 | 378 | 392 | 406 | |
| 30 | 420 | 434 | 448 | 462 | 476 | 490 | 504 | 518 | 532 | 546 | |
| 40 | 560 | 574 | 588 | 602 | 616 | 630 | 644 | 658 | 672 | 686 | |
| 50 | 700 | 714 | 728 | 742 | 756 | 770 | 784 | 798 | 812 | 826 | |
| 60 | 840 | 854 | 868 | 882 | 896 | 910 | 924 | 938 | 952 | 966 | |
| 70 | 980 | 994 | 1008 | 1022 | 1036 | 1050 | 1064 | 1078 | 1092 | 1106 | |
| 80 | 1120 | 1134 | 1148 | 1162 | 1176 | 1190 | 1204 | 1218 | 1232 | 1246 | |
| 90 | 1260 | 1274 | 1288 | 1302 | 1316 | 1330 | 1344 | 1358 | 1372 | 1386 | |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| 0 | 0 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 15 |
| 10 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 | 240 | 255 | 270 | 285 | |
| 20 | 300 | 315 | 330 | 345 | 360 | 375 | 390 | 405 | 420 | 435 | |
| 30 | 450 | 465 | 480 | 495 | 510 | 525 | 540 | 555 | 570 | 585 | |
| 40 | 600 | 615 | 630 | 645 | 660 | 675 | 690 | 705 | 720 | 735 | |
| 50 | 750 | 765 | 780 | 795 | 810 | 825 | 840 | 855 | 870 | 885 | |
| 60 | 900 | 915 | 930 | 945 | 960 | 975 | 990 | 1005 | 1020 | 1035 | |
| 70 | 1050 | 1065 | 1080 | 1095 | 1110 | 1125 | 1140 | 1155 | 1170 | 1185 | |
| 80 | 1200 | 1215 | 1230 | 1245 | 1260 | 1275 | 1290 | 1305 | 1320 | 1335 | |
| 90 | 1350 | 1365 | 1380 | 1395 | 1410 | 1425 | 1440 | 1455 | 1470 | 1485 | |
| 0 | 0 | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 | 16 |
| 10 | 160 | 176 | 192 | 208 | 224 | 240 | 256 | 272 | 288 | 304 | |
| 20 | 320 | 336 | 352 | 368 | 384 | 400 | 416 | 432 | 448 | 464 | |
| 30 | 480 | 496 | 512 | 528 | 544 | 560 | 576 | 592 | 608 | 624 | |
| 40 | 640 | 656 | 672 | 688 | 704 | 720 | 736 | 752 | 768 | 784 | |
| 50 | 800 | 816 | 832 | 848 | 864 | 880 | 896 | 912 | 928 | 944 | |
| 60 | 960 | 976 | 992 | 1008 | 1024 | 1040 | 1056 | 1072 | 1088 | 1104 | |
| 70 | 1120 | 1136 | 1152 | 1168 | 1184 | 1200 | 1216 | 1232 | 1248 | 1264 | |
| 80 | 1280 | 1296 | 1312 | 1328 | 1344 | 1360 | 1376 | 1392 | 1408 | 1424 | |
| 90 | 1440 | 1456 | 1472 | 1488 | 1504 | 1520 | 1536 | 1552 | 1568 | 1584 | |
| 0 | 0 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 17 |
| 10 | 170 | 187 | 204 | 221 | 238 | 255 | 272 | 289 | 306 | 323 | |
| 20 | 340 | 357 | 374 | 391 | 408 | 425 | 442 | 459 | 476 | 493 | |
| 30 | 510 | 527 | 544 | 561 | 578 | 595 | 612 | 629 | 646 | 663 | |
| 40 | 680 | 697 | 714 | 731 | 748 | 765 | 782 | 799 | 816 | 833 | |
| 50 | 850 | 867 | 884 | 901 | 918 | 935 | 952 | 969 | 986 | 1003 | |
| 60 | 1020 | 1037 | 1054 | 1071 | 1088 | 1105 | 1122 | 1139 | 1156 | 1173 | |
| 70 | 1190 | 1207 | 1224 | 1241 | 1258 | 1275 | 1292 | 1309 | 1326 | 1343 | |
| 80 | 1360 | 1377 | 1394 | 1411 | 1428 | 1445 | 1462 | 1479 | 1496 | 1513 | |
| 90 | 1530 | 1547 | 1564 | 1581 | 1598 | 1615 | 1632 | 1649 | 1666 | 1683 | |
| 0 | 0 | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 | 18 |
| 10 | 180 | 198 | 216 | 234 | 252 | 270 | 288 | 306 | 324 | 342 | |
| 20 | 360 | 378 | 396 | 414 | 432 | 450 | 468 | 486 | 504 | 522 | |
| 30 | 540 | 558 | 576 | 594 | 612 | 630 | 648 | 666 | 684 | 702 | |
| 40 | 720 | 738 | 756 | 774 | 792 | 810 | 828 | 846 | 864 | 882 | |
| 50 | 900 | 918 | 936 | 954 | 972 | 990 | 1008 | 1026 | 1044 | 1062 | |
| 60 | 1080 | 1098 | 1116 | 1134 | 1152 | 1170 | 1188 | 1206 | 1224 | 1242 | |
| 70 | 1260 | 1278 | 1296 | 1314 | 1332 | 1350 | 1368 | 1386 | 1404 | 1422 | |
| 80 | 1440 | 1458 | 1476 | 1494 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 1602 | |
| 90 | 1620 | 1638 | 1656 | 1674 | 1692 | 1710 | 1728 | 1746 | 1764 | 1782 | |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
Умножение двузначных чисел | Онлайн-тренажёр
Упражнение считается выполенным после 7 правильных ответов
Норма выполнения упражнения - 3 минуты
Для успешного выполнения упражнения ознакомьтесь с теорией и проработайте предыдущие уроки
Умножение двузначных чисел | Теория
В общем случае умножение в уме двузначных чисел удобно выполнять в следующем порядке:
- за базовое (первое или находящееся слева) число примите число с наибольшей второй цифрой;
- умножьте базовое (первое) двузначное число на десятки другого (второго) двузначного числа;
- умножьте базовое (первое) двузначное число на единицы другого (второго) двузначного числа;
- сложите два результата.
Задача: 42 x 36
1) 36 x 42 (число 36 принято за базовое (первое) число, так как 6>1)
2) 36 x 40 = (30+6) x 4 x 10
30 x 4 = 120; 6 x 4 = 24; 120 + 24 = 144; 144 x 10 = 1440*
3) 36 x 2 = (30+6) x 2
30 x 2 = 60; 6 x 2 = 12; 60 + 12 = 72
4) 1440 + 72 = 1752
Задача: 47 x 52
1) 47 x 52 (число 47 принято за базовое (первое) число, так как 7>2)
2) 47 x 50 = 2350
4) 2350 + 94 = 2444
Если одно из чисел заканчивается на 9, то задачу удобнее решать в следующем порядке:
- за второе (находящееся справа) число примите число, заканчивающееся на 9;
- округлите второе число в большую сторону до десятков, прибавив к нему 1;
- умножьте первое число на округлённое второе число;
- вычтите из результата пункта 3 первое число.
Задача: 39 x 56
1) 56 x 39 (число 39 принято за второе (находящееся справа) число, так как оно заканчивается на 9)
2) 56 x 39(40-1)
3) 56 x 40 = (50+6) x 4 x 10
50 x 4 = 200; 6 x 4 = 24; 200 + 24 = 224; 224 x 10 = 2240
4) 2240 - 56 = 2184
Если одно из двузначных чисел равно 11, то решить такую задачу будет намного проще, если вы воспользуетесь методикой, изложенной в Уроке 1.
Во многих случаях решение задачи умножения двузначных чисел в уме намного упрощается, если воспользоваться методом факторизации.
Факторизация - это преобразование числа в произведение более простых чисел. Например, число 24 можно преобразовать в произведение 8 и 3 (24 = 8 x 3) или 6 и 4 (24 = 6 x 4). Число 24 также можно представить в виде произведения 12 и 2 (24 = 12 x 2), но при выполнении арифметических операций в уме удобнее иметь дело с однозначными числами.
Отдельные двузначные числа также можно представить в виде произведения трёх однозначных чисел. Например, 84 = 7 x 6 x 2 = 7 x 4 x 3.
Решим задачу умножения с помощью факторизации.
Задача: 34 x 42
Факторизация числа 24 даёт 8 и 3 или 6 и 4. Для решения задачи представим число 24 в виде произведения 6 и 4, но, если вам удобнее, вы можете выбрать произведение 8 и 3.
Умножаем первое число на 6, после чего умножаем результат на 4:
34 x 6 = 204
204 x 4 = 816
Чтобы знать, какие из двузначных чисел поддаются факторизации, необходимо тщательно изучить таблицу умножения. Можно выписать все двузначные числа, поддающиеся факторизации, с указанием возможных способов их факторизации.
Если оба из перемножаемых двузначных чисел поддаются факторизации, то в большинстве случае удобнее факторизовать меньшее число.
Задача: 36 x 72
Число 36 можно представить в виде произведения 6 и 6, а число 72 - в виде произведения 9 и 8.
Так как 36
72 x 6 = 432
432 x 6 = 2592
Пример с факторизацией на три числа.
Задача: 57 x 75
В случае, если одно из перемножаемых двузначных чисел состоит из одинаковых цифр (22, 33, 44 и т.д.), то его удобнее факторизовать на 11 и 2, 3, 4 и т.д.), так как умножение на 11 не представляет труда, как было показано в уроке 11.
Задача: 81 x 44
Если числа близки по значению с круглым числом, то при их перемножении в уме удобно пользоваться следующими формулами: (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a-b)C-ab**, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом.
Задача: 67 x 64
(60 + 7) x (60 + 4) = (60 + 7 + 4) x 60 + 7 x 4 = 71 x 60 + 28 = 4260 + 28 = 4288
Задача: 39 х 38
(40 - 1) x (40 - 2) = (40 - 1 - 2) x 40 + 1 x 2 = 37 x 40 + 2 = 1480 + 2 = 1482
Задача: 41 x 38
(40 + 1) x (40 – 2) = (40 + 1 – 2) x 40 + 1 x 2 = 39 x 40 - 2 = 1558
Умножение двузначных чисел, первые цифры (десятки) которых равны, а вторые цифры (единицы) дают в сумме 10, удобнее производить в следующем порядке:
- умножьте первую цифру двузначных чисел на эту же цифру, увеличенную на единицу;
- перемножить вторые цифры двузначных чисел;
- поместите один за другим результаты пункта 1 и пункта 2.
Задача: 76 x 74
Не расстраивайтесь и не сдавайтесь, если на первых порах у вас возникнут трудности с умножением двузначных чисел. Для уверенного выполнения такой операции в уме необходима практика, а также творческий подход.
* Для запоминания в уме промежуточных результатов вычислений можете применять мнемотехники, основанные на ассоциации цифр с образами.
** Доказательства формул путём преобразования: (C+a)(C+b) = (C+a)C+(C+a)b = C 2 +Ca+Cb+ab = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a)C-(C-a)b = C 2 -Ca-Cb+ab = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a)C-(C+a)b = C 2 +Ca-Cb-ab = (C+a-b)C-ab.
*** Доказательство метода: согласно формуле, применяемой в предудущем методе (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; так как a+b=10, то (C+a)(C+b) = (C+10)C+ab; поскольку произведение двузначных круглых чисел С и С+10 даёт число с двумя нулями на конце, а произведение a и b даёт двузначное число, то для нахождения суммы этих двух выражений достаточно поставить произведение a и b вместо двух последних нулей первого выражения.
Существуют три общих способа: прямое умножение, метод опорного числа и метод Трахтенберга.
Освойте их все, так как каждый может быть более предпочтительным в той или иной ситуации.
Отрабатывать полученные навыки можно с помощью тренировочной таблицы.
Прямое умножение
Этот метод удобен, когда один из множителей находится в диапазоне 12-18 или заканчивается на 1, а другой значительно от него отличается.
Один из множителей мысленно разбивают на десятки и единицы. Затем умножают другой множитель на десятки, потом на единицы и складывают.
Например, 62×13 = 62×10 + 62×3 = 620 + 186 = 806.
Иногда удобно разбивать на десятки и единицы больший множитель: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.
Метод опорного числа
Для освоения метода требуется небольшая практика, однако он очень удобен, когда два множителя — близкие числа. В частности, это основной способ для возведения двузначных чисел в квадрат.
Опорное число — это круглое число, близкое к обоим множителям. Оно может быть меньше обоих множителей, больше обоих множителей или находится между ними.
В качестве опорного числа следует выбирать числа, на которые легко умножать. Например, 50 или 100, если они близки к двум множителям.
В зависимости от того, как соотносятся опорное число и множители, техника умножения немного различается.
а. Опорное число меньше двух множителей. Например, нужно умножить 32 на 36.
- Опорное число — 30. Множители больше опорного числа на 2 и 6.
- Добавьте к первому множителю 6 и умножьте на опорное число: 38 × 30 = 1140.
- Добавьте произведение 2 и 6: 1140 + 2×6 = 1152.
б. Опорное число больше двух множителей. Например, нужно умножить 43 на 48.
- Опорное число — 50. Множители меньше опорного числа на 7 и 2.
- Вычтите из первого множителя 2 и умножьте на опорное число: 41 × 50 = 2050.
- Добавьте произведение 7 и 2: 2050 + 7×2 = 2064.
в. Опорное число — между множителями. Например, нужно умножить 37 на 42.
- Опорное число — 40. Первый множитель меньше на 3, второй — больше на 2.
- Добавьте к меньшему множителю 2 и умножьте на опорное число: 39 × 40 = 1560.
- Вычтите произведение 3 и 2: 1440 − 3×2 = 1554.
Метод Трахтенберга
Метод Трахтенберга — самый общий. Им удобно пользоваться всегда, когда не работают специальные приемы. Он также распространяется на умножение многозначных чисел.
Поскольку метод Трахтенберга не совсем привычен, при его освоении лучше иметь множители перед глазами. В дальнейшем практикуйтесь без записи исходных чисел.
Разберем метод на примере умножения 87 на 32.
- Представьте числа последовательно: 8732. Перемножьте два внутренних числа (7 и 3), два внешних числа (8 и 2) и сложите. Получается 37.
- Перемножьте десятки: 80×30 = 2400. Добавьте 37×10. Получается 2770.
- Добавьте произведение единиц (7 и 2). Итого 2784.
