В этой статье мы рассмотрим линейную функцию , график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.
Линейной функцией называется функция вида
В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.
Например, в уравнении функции ;
в уравнении функции ;
в уравнении функции ;
в уравнении функции .
Графиком линейной функции является прямая линия.
1 . Чтобы построить график функции , нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :
2 . В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:
Title="k>0">
Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :
Title="b>0">
На рисунке ниже изображены графики функций ; ;
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля вправо . Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.
Во всех функциях - и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций ; ;
На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля , и все графики функций наклонены влево .
Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций ; ;
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .
Если k<0 и b>0 , то график функции имеет вид:
Если k>0 и b>0 , то график функции имеет вид:
Если k>0 и b<0 , то график функции имеет вид:
Если k<0 и b<0 , то график функции имеет вид:
Если k=0 , то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции равны
Если b=0 , то график функции проходит через начало координат:
Это график прямой пропорциональности .
3 . Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси все точки которой имеют абсциссу .
Например, график уравнения выглядит так:
Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует .
4 . Условие параллельности двух прямых:
График функции параллелен графику функции , если
5. Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции перпендикулярен графику функции , если или
6 . Точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):
Рассмотрим решение задач.
1 . Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.
В уравнении функции два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.
а) Из того, что график функции параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид
б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:
отсюда b=-10
Таким образом, нам надо построить график функции
Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.
Итак, уравнение прямой .
3
. Постройте график уравнения 
Чтобы найти, при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть каждого множителя.
Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:
Построим графики всех уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения :
4
. Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой и проходит через точку М(-1;2)
Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.
а) Так как график функции , если он перпендикулярен прямой , следовательно , отсюда . То есть уравнение функции имеет вид
б) Мы знаем, что график функции проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:
Отсюда .
Следовательно, наша функция имеет вид: .
5
. Постройте график функции 
Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.
Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому title="x1">, title="x-1">.
Тогда наша функция принимает вид:
Title="delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{y=x+2} {x1} {x-1}}}{ }">
То есть нам надо построить график функции и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение:
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
- аналитический способ (с помощью математической формулы);
- табличный способ (с помощью таблицы);
- описательный способ (с помощью словесного описания);
- графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1
Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) .
4. Экстремумы
Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max).
Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции.
Х max – точка максимума
У max – максимум
Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min).
Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции.
X min – точка минимума
Y min – минимум
X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x).
Задачи и тесты по теме "Основные свойства функции"
- Свойства функций - Числовые функции 9 класс
Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1
- Свойства логарифмов
Уроков: 2 Заданий: 14 Тестов: 1
- Функция квадратного корня, его свойства и график - Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня 8 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
- Степенные функции, их свойства и графики - Степени и корни. Степенные функции 11 класс
Уроков: 4 Заданий: 14 Тестов: 1
- Показательная функция, её свойства и график - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 15 Тестов: 1
Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.
Примеры.
1. Найти область определения функции.
Решение: область определения функции находится из условия
следовательно, функция f(x) – четная.
Ответ: четная.
D(f) = [-1; 1] – симметрична относительно нуля.
| 2) |
следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ : ни четная, ни не четная.
Построить функцию
Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.
Преимущества построения графиков онлайн
- Визуальное отображение вводимых функций
- Построение очень сложных графиков
- Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
- Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
- Управление масштабом, цветом линий
- Возможность построения графиков по точкам, использование констант
- Построение одновременно нескольких графиков функций
- Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.
1. Дробно-линейная функция и ее график
Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.
С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.
Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида
y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.
Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой . При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами .
Пример 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Решение.
Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.
Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.
Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.
Пример 2.
Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).
Решение.
Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.
Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.
Пример 3.
Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).
Решение.
Выделим у дроби «целую часть»:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.
Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.
Ответ: рисунок 1.
2. Дробно-рациональная функция
Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.
Примеры таких рациональных функций:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.
Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.
Построение графиков дробно-рациональных функций
Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.
Пример 4.
Построить график функции y = 1/x 2 .
Решение.
Используем график функции y = x 2 для построения графика y = 1/x 2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.
Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Область значений E(y) = (0; +∞).
Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.
Ответ: рисунок 2.
Пример 5.
Построить график функции y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Решение.
Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.
Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.
Ответ: рисунок 3.
Пример 6.
Построить график функции y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Решение.
Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.
Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.
Ответ: рисунок 4.
Пример 7.
Рассмотрим функцию y = x/(x 2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x 2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx 2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А 2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.
Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.
Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
График функции – это наглядное представление поведения некоторой функции на координатной плоскости. Графики помогают понять различные аспекты функции, которые невозможно определить по самой функции. Можно построить графики множества функций, причем каждая из них будет задана определенной формулой. График любой функции строится по определенному алгоритму (если вы забыли точный процесс построения графика конкретной функции).
Шаги
Построение графика линейной функции
- Если угловой коэффициент отрицательный, функция убывает.
-
От точки пересечения прямой с осью Y нанесите вторую точку, используя вертикальное и горизонтальное расстояния. График линейной функции можно построить по двум точкам. В нашем примере точка пересечения с осью Y имеет координаты (0,5); от этой точки передвиньтесь на 2 деления вверх, а затем на 1 деление вправо. Отметьте точку; она будет иметь координаты (1,7). Теперь можно провести прямую.
При помощи линейки проведите прямую через две точки. Во избежание ошибок найдите третью точку, но в большинстве случаев график можно построить по двум точкам. Таким образом, вы построили график линейной функции.
Определите, является ли функция линейной. Линейная функция задается формулой вида F (x) = k x + b {\displaystyle F(x)=kx+b} или y = k x + b {\displaystyle y=kx+b} (например, ), а ее график представляет собой прямую. Таким образом, формула включает одну переменную и одну константу (постоянную) без каких-либо показателей степеней, знаков корня и тому подобного. Если дана функция аналогичного вида, построить график такой функции довольно просто. Вот другие примеры линейных функций:
Воспользуйтесь константой, чтобы отметить точку на оси Y. Константа (b) является координатой «у» точки пересечения графика с осью Y. То есть это точка, координата «х» которой равна 0. Таким образом, если в формулу подставить х = 0, то у = b (константе). В нашем примере y = 2 x + 5 {\displaystyle y=2x+5} константа равна 5, то есть точка пересечения с осью Y имеет координаты (0,5). Нанесите эту точку на координатную плоскость.
Найдите угловой коэффициент прямой. Он равен множителю при переменной. В нашем примере y = 2 x + 5 {\displaystyle y=2x+5} при переменной «х» находится множитель 2; таким образом, угловой коэффициент равен 2. Угловой коэффициент определяет угол наклона прямой к оси X, то есть чем больше угловой коэффициент, тем быстрее возрастает или убывает функция.
Запишите угловой коэффициент в виде дроби. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона, то есть отношению вертикального расстояния (между двумя точками на прямой) к горизонтальному расстоянию (между этими же точками). В нашем примере угловой коэффициент равен 2, поэтому можно заявить, что вертикальное расстояние равно 2, а горизонтальное расстояние равно 1. Запишите это в виде дроби: 2 1 {\displaystyle {\frac {2}{1}}} .
Нанесение точек на координатную плоскость
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Нанесите точки на координатную плоскость. Для каждой пары координат сделайте следующее: найдите соответствующее значение на оси Х и проведите вертикальную линию (пунктиром); найдите соответствующее значение на оси Y и проведите горизонтальную линию (пунктиром). Обозначьте точку пересечения двух пунктирных линий; таким образом, вы нанесли точку графика.
Сотрите пунктирные линии. Сделайте это после нанесения на координатную плоскость всех точек графика. Примечание: график функции f(х) = х представляет собой прямую, проходящую через центр координат [точку с координатами (0,0)]; график f(х) = х + 2 – это прямая, параллельная прямой f(х) = х, но сдвинутая на две единицы вверх и поэтому проходящая через точку с координатами (0,2) (потому что постоянная равна 2).
Определите функцию. Функция обозначается как f(x). Все возможные значения переменной «у» называются областью значений функции, а все возможные значения переменной «х» называются областью определения функции. Например, рассмотрим функцию y = x+2, а именно f(x) = x+2.
Нарисуйте две пересекающиеся перпендикулярные прямые. Горизонтальная прямая – это ось Х. Вертикальная прямая – это ось Y.
Обозначьте оси координат. Разбейте каждую ось на равные отрезки и пронумеруйте их. Точка пересечения осей – это 0. Для оси Х: справа (от 0) наносятся положительные числа, а слева отрицательные. Для оси Y: сверху (от 0) наносятся положительные числа, а снизу отрицательные.
Найдите значения «у» по значениям «х». В нашем примере f(x) = х+2. Подставьте в эту формулу определенные значения «х», чтобы вычислить соответствующие значения «у». Если дана сложная функция, упростите ее, обособив «у» на одной стороне уравнения.
Построение графика сложной функции
Найдите нули функции. Нули функции – это значения переменной «х», при которых у = 0, то есть это точки пересечения графика с осью Х. Имейте в виду, что нули имеют не все функции, но это первый шаг процесса построения графика любой функции. Чтобы найти нули функции, приравняйте ее к нулю. Например:
Найдите и отметьте горизонтальные асимптоты. Асимптота – это прямая, к которой график функции приближается, но никогда не пересекает ее (то есть в этой области функция не определена, например, при делении на 0). Асимптоту отметьте пунктирной линией. Если переменная «х» находится в знаменателе дроби (например, y = 1 4 − x 2 {\displaystyle y={\frac {1}{4-x^{2}}}} ), приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х». В полученных значения переменной «х» функция не определена (в нашем примере проведите пунктирные линии через х = 2 и х = -2), потому что на 0 делить нельзя. Но асимптоты существуют не только в случаях, когда функция содержит дробное выражение. Поэтому рекомендуется пользоваться здравым смыслом:
